Question

15．设函数f（x）=（x-1）²+blnx，其中b为常数，讨论函数f（x）在定义域上的单调性．

Answer 1

分析 先求出函数的导数，通过讨论b的范围，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的极值点．

解答 解：f（x）=（x-1）²+blnx，（x＞0），
∴f′（x）=2（x-1）+$\frac{b}{x}$=$\frac{2（x-\frac{1}{2}）^{2}+b-\frac{1}{2}}{x}$，
①b-$\frac{1}{2}$≥0即b≥$\frac{1}{2}$时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增，
∴函数f（x）无极值点；
②b＜$\frac{1}{2}$时，令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1±\sqrt{1-2b}}{2}$，
0＜b＜$\frac{1}{2}$时：
在（0，$\frac{1-\sqrt{1-2b}}{2}$），（$\frac{1+\sqrt{1-2b}}{2}$，+∞），f′（x）＞0，f（x）递增，
在（$\frac{1-\sqrt{1-2b}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1-2b}}{2}$），f′（x）＜0，f（x）递减，
当b≤0时，$\frac{1-\sqrt{1-2b}}{2}$＜0，
在（$\frac{1+\sqrt{1-2b}}{2}$，+∞），f′（x）＞0，f（x）递增，
在（0，$\frac{1+\sqrt{1-2b}}{2}$），f′（x）＜0，f（x）递减．

点评 本题考查了函数的单调性，考查分类讨论思想，是一道中档题．