Question

各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁=1，a₂+a₃=6．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若等差数列{b_n}满足b₁=a₂，b₄=a₄，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）根据a₁=1，a₂+a₃=6，利用等比数列的通项公式，求出公比，从而可得数列{a_n}通项公式；
（2）确定数列{a_nb_n}的通项，利用错位相减法，可求前n项和S_n．

解答：解：（1）由条件知q＞0，q+q²=6，∴q=2（2分）
∴an=2n-1（4分）
（2）设数列{b_n}公差为d，则b₁=2，b₁+3d=8，∴d=2，∴b_n=2n（6分）
∴anbn=n•2n
∴S_n=1×2+2×2²+…+n•2ⁿ，①
∴2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
∴①-②：-Sn=2+22+23+24+…+2n-n×2n+1

=2(2n-1)

-n×2n+1（10分）
∴Sn=(n-1)2n+1+2（12分）

点评：本题考查等比数列的通项，考查数列的求和，正确运用错位相减法是关键．