Question

已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x³+x²+1，则f（x）=

x3+x2+1    x＞0 0                x=0 x3-x2-1      x＜0

．

Answer 1

分析：题目给出了x＞0时的解析式，要求函数在整个定义域上的解析式，我们可设x＜0，变形得到-x＞0，则-x适合已知的解析式，结合函数的奇偶性可求得x＜0时的函数解析式，然后运用奇函数的定义可求得f（0）=0，则函数在整个定义域上的解析式可求．

解答：解：设x＜0，则-x＞0，则f（-x）=（-x）³+（-x）²+1=-x³+x²+1，
因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（-x）=-f（x），则-f（x）=-x³+x²+1，所以，f（x）=x³-x²-1
又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=f（-0）=-f（0），所以f（0）=0，
综上，f(x)=

x3+x2+1  x＞0 0                    x=0 x3-x2-1    x＜0

，
故答案为

x3+x2+1  x＞0 0                   x=0 x3-x2-1  x＜0

．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，分段函数的解析式要分段去求，求解函数在某个区间内的解析式，可先在求解的区间内设出变量x，然后通过变形把变量转化到已知解析式的区间内，再运用函数的奇偶性和周期性进行求解，此题属中档题．