Question

已知函数f(x)=-

1

2

x2+4x-3lnx在[t，t+1]上不单调，则t的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先由函数求f′（x）=-x+4-

3

x

，再由“函数f(x)=-

1

2

x2+4x-3lnx在[t，t+1]上不单调”转化为“f′（x）=-x+4-

3

x

=0在区间[t，t+1]上有解”从而有

x2-4x+3

x

=0在[t，t+1]上有解，进而转化为：g（x）=x²-4x+3=0在[t，t+1]上有解，用二次函数的性质研究．

解答：解：∵函数f(x)=-

1

2

x2+4x-3lnx
∴f′（x）=-x+4-

3

x

∵函数f(x)=-

1

2

x2+4x-3lnx在[t，t+1]上不单调，
∴f′（x）=-x+4-

3

x

=0在[t，t+1]上有解
∴

x2-4x+3

x

=0在[t，t+1]上有解
∴g（x）=x²-4x+3=0在[t，t+1]上有解
∴g（t）g（t+1）≤0或

t＜2＜t+1 g(t)≥0 g(t+1)≥0 △=4＞0

∴0＜t≤1或2≤t＜3．
故答案为：0＜t≤1或2≤t＜3

点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．注意判别式的应用．