Question

在五棱锥P-ABCDE中，PA=AB=AE=4a，PB=PE=a，BC=DE=2a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．（1）若为中点，求证：平面.

（2）求二面角A-PD-E的正弦值；（3）求点C到平面PDE的距离.

Answer 1

（1）见解析

（2）二面角A-PD-E的正弦值为

(3) a

解析:

（1）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG。，为中点，所以AG⊥PE，DE∩PE＝E，∴AG⊥平面PDE  ………………………（4分）

（2）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．

∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE．

过A作AG⊥PE于G，过DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE．过G作GH⊥PD于H，连AH，

由三垂线定理得AH⊥PD．∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角．

在直角△PAE中，AG＝2a．在直角△PAD中，AH＝a

∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝＝．

∴二面角A-PD-E的正弦值为．        …………………………………………..( 8分)

（3）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°,  BC=DE=2a,AB=AE=4a,

取AE中点F，连CF，∵AF∥=BC,∴四边形ABCF为平行四边形．

∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE平面PDE，CF平面PDE，

∴CF∥平面PDE．∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．

∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥DE．

又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．∴平面PAE⊥平面PDE．

∴过F作FG⊥PE于G，则FG⊥平面PDE．∴FG的长即F点到平面PDE的距离．在△PAE中，PA=AE=4a，F为AE中点，FG⊥PE，  

∴FG=a． ∴点C到平面PDE的距离为a．（或用等体积法求）…………（12分）