Question

已知数列{a_n}中，a₁=a，a₂=2，S_n是数列{a_n}的前n项和，且2S_n=n（3a₁+a_n），n∈N^*．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若bn=

2  (n=1)  8 an+1•an+2 (n≥2)

T_n是数列{b_n}的前n项和，且an+2•Tn＜m•

a

2 n+2

+2对一切n∈N^*都成立，求实数m取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2S_n=n（3a₁+a_n），S₁=a₁=a，能求出a=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 Sn=

nan

2

，故Sn+1=

(n+1)an+1

2

．所以an+1=Sn+1-Sn=

(n+1)an+1

2

-

nan

2

．由此能求出a_n．
（Ⅲ）当n≥2时，bn=

8

2n•2(n+1)

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．由b₁=2，知T_n=2+2(

1

2

-

1

n+1

)=

3n+1

n+1

，由此能够求出an+2•Tn＜m•

a

2 n+2

+2对一切n∈N^*都成立时，实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵2S_n=n（3a₁+a_n），S₁=a₁=a，
∴2a=4a，
所以a=0．…..（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 Sn=

nan

2

，
∴Sn+1=

(n+1)an+1

2

．
∴an+1=Sn+1-Sn=

(n+1)an+1

2

-

nan

2

．
∴（n-1）a_n+1=na_n．
∴当n≥2时，

an+1

an

=

n

n-1

．
∴

an+1

an

=

n

n-1

an

an-1

=

n-1

n-2

，…，

a3

a2

=

2

1

，
∴

an+1

a2

=n．
∴a_n=2（n-1），n≥2．
∵a₁=a=0满足上式，
∴a_n=2（n-1），n∈N^*．…..（6分）
（Ⅲ）当n≥2时，bn=

8

2n•2(n+1)

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．…..（7分）
又b₁=2，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=2+2(

1

2

-

1

3

)+…+2(

1

n

-

1

n+1

)…..（9分）
=2+2(

1

2

-

1

n+1

)=

3n+1

n+1

所以Tn=

3n+1

n+1

．…..（10分）
因为an+2•Tn＜m•

a

2 n+2

+2对一切n∈N^*都成立，
即2(n+1)•

3n+1

n+1

＜m•4(n+1)2+2对一切n∈N^*都成立．
∴m＞

3

2

.

n

n2+2n+1

=

3

2

.

1

n+ 1 n +2

．…..（12分）
∵n+

1

n

≥2，当且仅当n=

1

n

，即n=1时等号成立．
∴n+

1

n

+2≥4．
∴

1

n+ 1 n +2

≤

1

4

∴m＞

3

8

．…..（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．