Question

（甲）如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，点M在边BC上，DAMC₁是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．

（1）求证：点M为边BC的中点；

（2）求点C到平面AMC₁的距离；

（3）求二面角M-AC₁-C的大小．

（乙）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以ÐABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB₁=3a，D为A₁C₁的中点，E为B₁C的中点．

（1）求直线BE与A₁C所成的角；

（2）在线段AA₁上是否存在点F，使CF^平面B₁DF，若存在，求出；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

（甲）（1）证明：∵ DAMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形， ∴ AM^C1M且AM=C1M．  ∵ 正三棱柱ABC-A1B1C1． ∴ CC1^底面ABC且底面ABC为正三角形．∴ C1M在底面内的射影为CM，AM^CM． ∵ 底面ABC是边长为a的正三角形，∴ 点M为BC边的中点． （2）解：过点C作CH^MC1，由（1）知AM^C1M且AM^CM， ∴ AM^平面C1CM  ∵ CH在平面C1CM内，∴ CH^AM，∴ CH^平面C1AM， 由（1）知，，且CC1^BC． ∴ ∴ ∴ 点C到平面AMC1的距离为 （3）解：过点C作CI^AC1于I，连结HI，∵ CH^平面C1AM， ∴ HI为CI在平面C1AM内的射影，∴ HI^AC1，ÐCIH是二角M-AC1-C的平面角． 在直角三角形ACC1中， ∴ ÐCIH=45°，∴ 二面角M-AC1-C的大小为45°． （乙）解：（1）以B为原点，建立空间直角坐标系． ∵ AC=2a，ÐABC=90°，∴ AB=BC= ∴ B(0，0，0)， ，，B1(0，0，3a) ∴ ，，∴ ， ∴ ，，∴ ∴ 故BE与A1C所成的角为 （2）假设存在点F，使CF^平面B1DF，不妨设AF=b，∴ ，，，，∵ ，∴ CF^B1D恒成立． 由或b=2a，故当或2a时，CF^平面B1DF．