Question

如图，已知四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝2，AD＝2．

(1)求证：PB⊥AC；

(2)在线段PB上是否存在一点E，使得PB⊥平面ACE？若存在，请确定点E的位置，并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：因为四边形ABCD为正方形， 　　所以BD⊥AC． 　　因为PD⊥平面ABCD， 　　所以PD⊥AC． 　　因为BD∩PD＝D， 　　所以AC⊥平面PBD， 　　所以PB⊥AC． 　　(2)解：存在这样的点E，使得PB⊥平面ACE，此时，点E在PB的四分之一分点处(靠近B点)．证明如下： 　　在Rt△PBD中，BD＝PD＝2， 　　所以△PBD为等腰直角三角形． 　　如上图，设O为BD的中点，取PB的中点为H，连接DH，则DH⊥PB． 　　取E为线段PB上靠近点B的四分之一分点， 　　则E为BH的中点． 　　连接OE，因为O为BD的中点， 　　所以OE∥DH，所以OE⊥PB． 　　由(1)知PB⊥AC， 　　又因为AC∩OE＝O， 　　所以PB⊥平面ACE． 　　点评：开放性问题的作答一般是从待求的结论出发，探索所需条件，逐步分析，找到满足的条件后，再以此条件为基础完成证明．