Question

AB为抛物线y=x²上的动弦，且|AB|=a（a为常数且a≥1），求弦AB的中点M离x轴的最近距离.

Answer 1

最近距离为(2a-1).

解析:

如图所示，设A、M、B点的纵坐标分别为y₁、y₂、y₃，A、M、B三点在抛物线上的射影分别为A′、M′、B′.由抛物线的定义，

|AF|=|AA′|=y₁+，

|BF|=|BB′|=y₃+，

∴y₁=|AF|-，y₃=|BF|-.

又M是线段AB的中点，∴y₂=(y₁+y₃)=(|AF|+|BF|-)≥×(|AB|-)=(2a-1)，

等号成立的条件是A、F、B三点共线，即AB为焦点弦.

∴最近距离为(2a-1).