Question

如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1．

(Ⅰ)证明：PA⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小．

(Ⅲ)在棱DC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：因为底面ABCD是菱形， 　　所以AB＝AD＝AC＝a， 　　在 　　知 　　同理， 　　(Ⅱ)解：作EG∥PA交AD于G， 　　由 　　知 　　作 　　 　　又PE∶ED＝2∶1 　　所以 　　从而 　　(Ⅲ)解法一：以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图． 　　由题设条件，相关各点的坐标分别为 　　 　　所以 　　 　　设点F是棱PC上的点， 　　， 　　其中 　　则 　　 　　令得 　　 　　即 　　解得 　　即时， 　　共面． 　　又平面AEC，所以当F是棱PC的时，BF∥平面AEC． 　　解法二：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC．证明如下： 　　证法一：取PE的中点M，连结FM，则FM∥CE．① 　　由，知E是MD的中点． 　　连接BM、BD，设 　　则O为BD的中点． 　　所以MB∥OE．② 　　由①、②知，平面BFM∥平面AEC． 　　证法二 　　因为 　　 　　 　　所以共面． 　　又平面AEC，从而BF∥平面AEC．