Question

如图，正方形ABCD的边长为，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，且FO⊥平面ABCD．　
（1）求证：FC∥平面ADE；
（2）当平面AEF⊥平面CEF时，求二面角F-BD-C的大小．

Answer 1

（1）证明：∵ABCD是正方形，四边形BDEF是平行四边形，
∴BC∥AD，FB∥ED
∴平面FBC∥平面ADE
∵FC?平面FBC
∴FC∥平面ADE；
（2）解：连接FG，AF，FC，

∵BD⊥AC，FO⊥平面ABCD
∴BD⊥平面AFC，∴BF⊥平面AFC
∴∠FGC为二面角F-BD-C的平面角，∠AFC为二面角A-EF-C的平面角
∵平面AEF⊥平面CEF，∴∠AFC=90°
设GO=m，则AG=2m，OC=m，
在直角△AFC中，FO²=OA×OC=3m²，∴FO=m
∴在直角△FGO中，∠FGC=60°
因此，二面角F-BD-C的大小为60°．
分析：（1）证明BC∥AD，FB∥ED，可得平面FBC∥平面ADE，利用面面平行的性质，可得FC∥平面ADE；
（2）连接FG，AF，FC，则∠FGC为二面角F-BD-C的平面角，∠AFC为二面角A-EF-C的平面角，在直角△FGO中，可得∠FGC=60°．
点评：本题考查面面平行的判定与性质，考查线面平行，考查面面角，正确作出面面角是关键．