Question

如图,在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为8的正三角形,SA=SC=2,二面角S-AC-B的大小为60°.

(1)求证:AC⊥SB;

(2)求三棱锥S—ABC的体积.

Answer 1

答案：(1)证明:取AC的中点D,连结SD、BD,∵SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.

∵AB=BC,D为AC的中点,∴BD⊥AC.又SD∩BD=D,∴AC⊥面SBD.

又SB面SBD,∴AC⊥SB.

(2)解:过S作SO⊥BD于O,∵AC⊥面SBD,又AC平面ABC,∴平面SBD⊥平面ABC.

∵平面SBD⊥面ABC,∵SO⊥BD,平面SBD∩平面ABC=BD,∴SO⊥平面ABC.

在Rt△SAD中,SA=2,AD=AC=4,∴SD=.∵SD⊥AC,BD⊥AC,

∴∠SDB为二面角S-AC-B的平面角.∴∠SDB=60°.

在Rt△SDO中,SO=SD·sin∠SDO=2×=3,

∴V_S—ABC=S_△ABC·SO=××64×3=16.