Question

已知数列{a_n}满足a₁＝1，a₂＝3，a_n+2＝3a_n+1－2a_n(n∈N^*)，

(1)求证：数列{a_n+1－a_n}是等比数列；

(2)求数列{a_n}的通项公式；

(3)若数列{b_n}满足4^b1－14^b2－1…4^bn－1＝(a_n＋1)^bn(n∈N^*)，证明{b_n}是等差数列．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵an+2＝3an+1－2an， 　　∴an+2－an+1＝2(an+1－an)． 　　∴(n∈N*)． 　　∵a1＝1，a2＝3， 　　∴{an+1－an}是以a2－a1＝2为首项，2为公比的等比数列． 　　(2)解：由(1)得an+1－an＝2n(n∈N*)， 　　∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 　　＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1 　　＝2n－1(n∈N*)． 　　(3)证明：∵4b1－14b2－1…4bn－1＝(an＋1)bn． 　　∴4(b1＋b2＋…＋bn)－n＝2nbn． 　　∴2[(b1＋b2＋…＋bn)－n]＝nbn，① 　　2[(b1＋b2＋…＋bn＋bn+1)－(n＋1)] 　　＝(n＋1)bn+1．② 　　②－①，得2(bn+1－1)＝(n＋1)bn+1－nbn， 　　即(n－1)bn+1－nbn＋2＝0．③ 　　nbn+2－(n＋1)bn+1＋2＝0．④ 　　④－③，得nbn+2－2nbn+1＋nbn＝0， 　　即bn+2－2bn+1＋bn＝0， 　　∴bn+2－bn+1＝bn+1－bn(n∈N*)． 　　∴{bn}是等差数列． 　　思路分析：(1)只要对已知条件进行适当变形立即可得；(2)根据(1)构造的数列便可求得通项公式，(3)利用幂的运算性质转化为两数列之间的关系．