Question

已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且PA=AB=1，BC=2．E，F分别为BC，PD的中点．
①求证：EF∥平面PAB．
②求证：DE⊥平面PAE．
③求二面角P﹣DE﹣A的余弦值．

Answer 1

解：①证明：取PA的中点G，连接BG，PG，
因为E，F分别为BC，PD的中点．
所以FG  =EB，
所以四边形BEFG是平行四边形，
因为EF平面PAB，BG平面PAB，
所以EF∥平面PAB．
 ②证明：因为PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥DE，底面ABCD是矩形，
且PA=AB=1，BC=2．
E是BC的中点．
所以AE= ，ED= ，AD=2，
∴AE⊥ED，
又PA∩AE=A，
∴DE⊥平面PAE．   
③解：由②可知∠PEA就是二面角P﹣DE﹣A的二面角的平面角，
二面角P﹣DE﹣A的余弦值，