Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是椭圆外的动点，满足||=2a．点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足•=0，||≠0．
（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明||=a+x；
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F₁MF₂的面积S=b²．若存在，求∠F₁MF₂的正切值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为（x，y），
由题设条件知||===，
由此能够推导出||=a+x．

证法二：设点P的坐标为（x，y）．记||=r₁，||=r₂，
由r₁+r₂=2a，r₁²+r₂²=4cx，能够推导出||=r₁=a+x．
证法三：设点P的坐标为（x，y）．椭圆的左准线方程为a+x=0，
由椭圆第二定义得=，由此入手推导出||=a+x．

（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为（x，y）．当||=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹上．
当|时，由题设条件知T为线段F₂Q的中点．
在△QF₁F₂中，，由此求出点T的轨迹C的方程．
解法二：在推导出T为线段F₂Q的中点的基础上，设点Q的坐标为（x'，y'），
由中点坐标公式和||=2a推导出点T的轨迹C的方程．
（Ⅲ）解法一：C上存在点M（x，y）使S=b²的充要条件是
由③得|y|≤a，由④得|y|≤．再分类讨论进行求解．
解法二：C上存在点M（x，y）使S=b²的充要条件是
由④得|y|≤．上式代入③得x²=a²-=（a-）（a+）≥0．再分类讨论进行求解．
解答：（Ⅰ）证法一：设点P的坐标为（x，y）．
由P（x，y）在椭圆上，得||===
由x≥a，知a+x≥-c+a＞0，所以||=a+x
证法二：设点P的坐标为（x，y）．记||=r₁，||=r₂，
则r₁=，r₂=．
由r₁+r₂=2a，r₁²+r₂²=4cx，得||=r₁=a+x．
证法三：设点P的坐标为（x，y）．椭圆的左准线方程为a+x=0
由椭圆第二定义得=，即||=|x+|=|a+x|．
由x≥-a，知a+x≥-c+a＞0，所以||=a+x．
（Ⅱ）解法一：设点T的坐标为（x，y）．
当||=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹上．
当|时，由，得．
又，所以T为线段F₂Q的中点．
在△QF₁F₂中，，所以有x²+y²=a²．
综上所述，点T的轨迹C的方程是x²+y²=a²．
解法二：设点T的坐标为（x，y）．当||=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹上．
当||≠0且||≠0，时，由•=0，得⊥．
又，||，所以T为线段F₂Q的中点．
设点Q的坐标为（x'，y'），则
因此①
由||=2a得（x'+c）²+y'²=4a²．②
将①代入②，可得x²+y²=a²．
综上所述，点T的轨迹C的方程是x²+y²=a²．
（Ⅲ）解法一：C上存在点M（x，y）使S=b²的充要条件是
由③得|y|≤a，由④得|y|≤．所以，当a≥时，存在点M，使S=b²；
当a＜时，不存在满足条件的点M．
当a≥时，=（-c-x，-y），=（c-x，-y），
由•=x²-c²+y²=a²-c²=b²，•=||•||=cos∠F₁MF₂，
S=•sin∠F₁MF₂=b²，得tan∠F₁MF₂=2．
解法二：C上存在点M（x，y）使S=b²的充要条件是

由④得|y|≤．上式代入③得x²=a²-=（a-）（a+）≥0
于是，当a≥时，存在点M，使S=b²；
当a＜时，不存在满足条件的点M．
当a≥时，记k₁=k_F1M=，k₂=k_F2M=，
由|F₁F₂|＜2a，知∠F₁MF₂＜90°，所以tan∠F₁MF₂=||=2．
点评：平时练习时多尝试一题多解，能够开拓我们的解题思路，从而提高解题能力．