Question

在三棱锥S—ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC=4,SB=4.

(1)证明SC⊥BC;

(2)求二面角A-BC-S的大小;

(3)求直线AB与平面SBC所成角的大小.(用反三角函数表示)

Answer 1

解法一:(1)证明:∵SA⊥AB,SA⊥AC,且AB∩AC=A,∴SA⊥平面ABC.

∴AC为SC在平面ABC内的射影.

又AC⊥BC,∴BC⊥SC.

(2)由(1)BC⊥SC,又BC⊥AC,∴∠SCA为所求二面角的平面角.

又∵SB=4,BC=4,

∴SC=4.∵AC=2,∴∠SCA=60°,

即二面角ABCS的大小为60°.

(3)过A作AD⊥SC于D,连结BD,由(2)得BC⊥平面SAC,又BC平面SBC,∴平面SAC⊥平面SBC,且平面SAC∩平面SBC=SC.

∴AD⊥平面SBC.

∴BD为AB在平面SBC内的射影.

∴∠ABD为AB与平面SBC所成角.

在Rt△ABC中,AB=2,在Rt△SAC中,SA==2,

AD=,∴sin∠ABD==.

∴直线AB与平面SBC所成角的大小为arcsin.

解法二:(1)证明:由已知∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,

以C点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz.

则A(0,2,0),B(4,0,0),C(0,0,0),S(0,2,2).

则=(0,-2,-2),=(-4,0,0).∴·=0.∴SC⊥BC.

(2)∵∠SAB=∠SAC=90°,∴SA⊥平面ABC.

∴=(0,0,2)是平面ABC的法向量.

设侧面SBC的法向量为n=(x,y,z),=(0,-2,-2),=(-4,0,0).

∵·n=0,·n=0,∴∴x=0.令z=1,则y=-.

则平面SBC的一个法向量n=(0,-,1).7分cos〈,n〉===,

即二面角ABCS的大小为60°.

(3)由(2)可知n=(0,,1)是平面SBC的一个法向量.

又=(4,-2,0),∴cos〈,n〉=.

∴直线AB与平面SBC所成角为arcsin.