Question

已知函数f（x）=4^x-2^x+1+3．
（1）当f（x）=11时，求x的值；
（2）当x∈[-2，1]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）当f（x）=11，即4^x-2^x+1+3=11时，（2^x）²-2•2^x-8=0
∴（2^x-4）（2^x+2）=0
∵2^x＞02^x+2＞2，
∴2^x-4=0，2^x=4，故x=2
（2）f（x）=（2^x）²-2•2^x+3    （-2≤x≤1）
令∴f（x）=（2^x-1）²+2
当2^x=1，即x=0时，函数的最小值f_min（x）=2
当2^x=2，即x=1时，函数的最大值f_max（x）=3
分析：（1）f（x）=11，即4^x-2^x+1+3=11，以2^x为单位，解关于x的方程，通过因式分解得（2^x-4）（2^x+2）=0，再讨论2^x为的正数的性质，可得2^x=4，故x=2成立；
（2）以2^x为单位，将原函数化简为关于它的二次函数，根据二次函数的图象与性质，结合x∈[-2，1]，找到函数取最大值和最小值对应的x，从而找出函数f（x）的最大值和最小值．
点评：本题考查了指数型复合函数的性质和应用，属于基础题．抓住题中的基本量与单位元，灵活地运用二次函数的图象与性质解题，是本题的关键．