Question

已知函数，其中a＞0且a≠1．
（1）分别判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性；
（2）比较f（1）-1与f（2）-2、f（2）-2与f（3）-3的大小，由此归纳出一个更一般的结论，并证明；
（3）比较与、与的大小，由此归纳出一个更一般的结论，并证明．

Answer 1

解：（1），
若0＜a＜1，则，lna＜0，所以f^/（x）＞0；
若a＞1，则，lna＞0，所以f^/（x）＞0，
因此，任意a＞0且a≠1，都有f^/（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）上的单调递增．
（2）直接计算知f（1）-1=0，f（2）-2=a+a^-1-2，f（3）-3=a²+a^-2-2，
根据基本不等式a+a^-1-2＞0，所以f（2）-2＞f（1）-1，
又因为=，
所以f（3）-3＞f（2）-2．
假设?x＞0，f（x+1）-（x+1）＞f（x）-x．
记g（x）=[f（x+1）-（x+1）]-[f（x）-x]，．与（1）类似地讨论知，对?x＞0和?a＞0且a≠1都有g^/（x）＞0，g（x）在[0，+∞）上的单调递增，g（0）=0，
所以g（x）＞g（0）=0，即?x＞0，f（x+1）-（x+1）＞f（x）-x．
（3），，，
根据基本不等式，，
所以．
假设?x＞0，．
记，x＞0，，
设，
则h（0）=0且，
类似（1）的讨论知，
从而h（x）＞h（0）=0，g^/（x）＞0，g（x）在R⁺上单调增加，
所以?x＞0，．
分析：（1）先求导，再判导数的符号．
（2）直接计算f（1）-1与f（2）-2、f（2）-2与f（3）-3，进行比较．比较大小可用做差比较法．
归纳一般的结论，构造函数利用单调性进行证明．
（3）利用基本不等式和做差比较法比较大小，归纳结论，构造函数进行证明．
点评：本题考查比较大小、归纳推理、函数单调性的证明及应用，综合性强，难度较大．