Question

如图，PC⊥平面ABC，∠ACB=90°，D为AB中点，AC=BC=PC=2．

   （I）求证：AB⊥平面PCD；

   （II）求异面直线PD与BC所成的角的余弦值；

   （III）求点C到平面PAD的距离．

Answer 1

解法一：（I）因为PC⊥平面ABC，AB平面ABC，所以PC⊥AB．

    △ABC中，AC=BC，且D为AB中点，所以CD⊥AB．

又PC∩CD=C，所以AB⊥平面PCD．

   （II）如图，取AC中点E，连结DE、PE，则DE∥BC，

    所以∠PDE(或其补角)为异面直线PD与BC所成的角．

因为BC∥DE，AC⊥BC，所以AC⊥DE；

又PC⊥平面ABC，DE平面ABC，所以PC⊥DE，

因为AC∩PC=C，所以DE⊥平面PAC，

因为PEC平面PAC，所以DE⊥PE．

在Rt△ABC中，因为AC=BC=2，所以AB=2

在Rt△PCD中，因为PC=2，CD=AB=，

所以PD=．

在Rt△PDE中，因为DE=BC=1．所以cos∠PDE=

即异面直线PD与BC所成的角的余弦值为.

   （III）如图，过C作CF⊥PD交PD于F

因为AB⊥平面PCD，CF平面PCD，所以AD⊥CF．

    因为AD∩PD=D，

    所以CF⊥平面PAD．

在Rt△PCD中，CF==．

    所以点C到平面PAD的距离是．

解法二：如图，以C为原点，分别以直线CA、CB、CP为x、y、z轴建立空间直角坐标系．

则C(O，0，O)，A(2，0，0)，B(O，2，0)，P(O，0，2)，所以AB中点D(1，1，0)．

   （I）因为=(-2，2，0)，=(1，1，0)，=(0，0，2)．

    所以?= -2×1 + 2×1 + 0×0 = 0，    ?= -2×0 + 2×0 + 0×0 = 0，

    所以⊥，⊥．又CD∩CP=C，

所以AB⊥平面PCD．

   （II）=(1，1，-2)，=(0，2，0)．

所以cos(，)=

即异面直线PD与BC所成的角的余弦值为．

   （III）设平面PAD的法向量为n=(x,y,z)．因为=(2，0，-2).

则由得

取x=1，得n=(1,1,1)是平面PAD的一个法向量

又=(0，0，2)，

所以点C到平面PAD的距离

解法三：（Ⅰ）、（Ⅱ）同解法一．

   （III）设点C到平面PAD的距离为h，由（Ⅰ）AB⊥平面PCD，

因为CD⊥AD，由三垂线定理，可得AD⊥PD，

又AD=,PD=，CD=，

所以S_△PAD=?AD ?PD=

S_△ACD=?AD?CD=1．

由V_C-PAD=V_P-ACD,得?h?S_△PAD=?PC?S_△ACD

即h?=×2×1，

解得h=

所以点C到平面PAD的距离是.