Question

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c．

求证：a²＝b²＋c²－2bccosA，b²＝a²＋c²－2accosB，c²＝a²＋b²－2abcosC．

Answer 1

答案：
解析：

证法一：如图，作CD⊥AB，垂足为D，则CD＝bsinA． 　　因为AB＝c，AD＝bcosA，所以BD＝c－bcosA，所以在△BCD中，利用勾股定理有a2＝(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝b2＋c2－2bccosA． 　　同理可得b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC． 　　所以a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC． 　　点评：本证法是借助三角形的高完成的，“高”的使用频率之所以这么高，这是因为“高”能产生直角三角形，进而通过三角函数把边和角联系起来，恰好契合所证明的式子． 　　证法二：如图，以A为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则可得A(0，0)，C(b，0)，B(ccosA，csinA)． 　　根据两点间的距离公式，得 　　a＝BC＝， 　　即a2＝b2＋c2－2bccosA． 　　同理可得b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC． 　　所以a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC． 　　点评：本证法是坐标法，这种方法是证明平面几何问题的常用方法，它的优点在于：(1)用坐标(数)表示，实现了几何图形数字化，从而不需再绞尽脑汁地研究复杂的图形关系；(2)因为利用的是任意角三角函数的定义，所以无论角是锐角还是钝角，点的坐标都一样，这是此证法的另一个优点．

提示：

以锐角三角形为例来证明．