Question

函数f(x)=Asin(ωx+

π

3

)（其中A＞0，ω＞0）的振幅为2，周期为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）求f（x）在[-

π

2

，0]的值域．

Answer 1

分析：（1）利用振幅的定义和周期公式T=

2π

|ω|

，即可得出；
（2）利用正弦函数的单调性即可得出；
（3）由x∈[-

π

2

，0]，可得(2x+

π

3

)∈[-

2π

3

，

π

3

]．进而得到f（x）的单调递减区间为[-

π

2

，-

5π

12

]；单调递增区间为[-

5π

12

，0]．即可得到值域．

解答：解：（1）∵函数f(x)=Asin(ωx+

π

3

)（其中A＞0，ω＞0）的振幅为2，周期为π．
∴A=2，π=

2π

ω

．解得ω=2．
∴f(x)=2sin(2x+

π

3

)．
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，解得-

5

12

π+kπ≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z）．
∴f（x）的单调增区间为[-

5π

12

+kπ，kπ+

π

12

](k∈Z)；
（3）∵x∈[-

π

2

，0]，∴(2x+

π

3

)∈[-

2π

3

，

π

3

]．
∴f（x）的单调递减区间为[-

π

2

，-

5π

12

]；单调递增区间为[-

5π

12

，0]．
∴当2x+

π

3

=-

π

2

时，即x=-

5π

12

时，函数f（x）取得最小值-2；
当x=0时，2x+

π

3

=

π

3

时，函数f（x）取得最大值2sin

π

3

=

3

．
故函数f（x）的值域为[-2，

3

]．

点评：熟练掌握三角函数的图象与性质是解题的关键．