Question

f(x)=2sin(ωx-

π

3

)cosωx+2cos(2ωx+

π

6

)，其中ω＞0．
（1）若ω=2，求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）满足f（π+x）=f（π-x）（x∈R），且ω∈(

1

2

，1)，求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与差的三角函数公式展开，结合二倍角的三角函数公式和辅助角公式进行化简，得f（x）=cos(2ωx+

π

6

)-

3

2

．因为ω=2，所以f（x）=cos(4x+

π

6

)-

3

2

，利用三角函数的周期公式即可算出函数f（x）的最小正周期．
（2）因为f（π+x）=f（π-x）对x∈R成立，所以直线x=π是函数图象的对称轴．根据余弦函数图象对称轴方程的公式列式，算出

ω= k 2 - 1 12 ，(k∈Z)

，结合ω∈(

1

2

，1)可得ω=

11

12

，从而得到f(x)=cos(

11

6

x+

π

6

)-

3

2

，最后利用余弦函数单调区间的结论建立关于x的不等式，解之即可得到函数f（x）的单调递减区间．

解答：解：根据题意，得f(x)=2sin(ωx-

π

3

)cosωx+2cos(2ωx+

π

6

)

=(sinωx- 3 cosωx)cosωx+2(cos2ωxcos π 6 -sin2ωcos π 6 )

∵2sinωxcosωx=sin2ωx，cos²ωx=

1

2

（1+cos2ωx）
∴f（x）

= 1 2 sin2ωx- 3 cos2ωx+ 3 cos2ωx-sin2ωx

=- 1 2 sin2ωx- 3 × 1+cos2ωx 2 + 3 cos2ωx

= 3 2 cos2ωx- 1 2 sin2ωx- 3 2

=cos(2ωx+

π

6

)-

3

2

…（5分）
（1）若ω=2，则函数表达式为：f(x)=cos(4x+

π

6

)-

3

2

，
因此，f（x）的最小正周期T=

2π

4

=

π

2

…（7分）
（2）∵y=f（x）满足f（π+x）=f（π-x）（x∈R）
∴直线x=π是函数图象的对称轴，可得cos(2ωx+

π

6

)=1或cos(2ωx+

π

6

)=-1，
因此，

2ωπ+ π 6 =kπ，(k∈Z)

．解之得

ω= k 2 - 1 12 ，(k∈Z)

又∵ω∈(

1

2

，1)，∴取整数k=2，得ω=

11

12

，
可得函数解析式为：f(x)=cos(

11

6

x+

π

6

)-

3

2

解不等式2kπ≤

11

6

x+

π

6

≤2kπ+π，(k∈Z)，得

12

11

kπ-

π

11

≤x≤

12

11

kπ+

5π

11

，(k∈Z)
∴函数f（x）的单调递减区间为[

12

11

kπ-

π

11

，

12

11

kπ+

5π

11

]，(k∈Z)．…（13分）

点评：本题给出三角函数表达式，求函数的最小正周期和单调减区间，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识点，属于中档题．