Question

已知函数f(x)=x⁴+x³-+cx有三个极值点.

(Ⅰ)证明：-27＜c＜5;

(Ⅱ)若存在c,使函数f(x)在区间[a,a+2]上单调递减，求a的取值范围.

Answer 1

解  (Ⅰ)因为函数f(x)=x⁴+x³-x²+cx有三个极值点，所以

f′(x)=x³+3x³-9x+c=0有三个互异的实根.

设g(x)=x³+3x²-9x+c，则g′(x)=3x²+6x-9=3(x+3)(x-1).

当x＜-3时，g′(x)＞0,g(x)在(-∞,-3)上为增函数,

当-3＜x＜1时，g′(x) ＜0,g(x)在(-3,1)上为减函数,

当x＞1时，g′(x)＞0,g(x)在(1,+ ∞)上为增函数.

所以函数g(x)在x=-3时取极大值，在x=1时取极小值.

当g(-3) ≤0或g(1) ≥0时，g(x)=0最多只有两个不同实根，因为g(x)=0有三个不同实根，所以g(-3)＞0，且g(1)＜0.即-27+27+27+c＞0，且1+3-9+c＜0,解得c＞-27，且c＜5.

故-27＜c＜5.

(Ⅱ)由(Ⅰ)的证明可知，当-27＜c＜5时，f(x)有三个极值点，不妨设为x₁,x₂,x₃(x₁＜x₂＜x₃),则f′(x)=(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃).

所以f(x)的单调递减区间是(-∞，x₁],[x₂,x₃].

若f(x)在区间[a,a+2]上单调递减，则[a,a+2](- ∞,x₁],或[a,a+2][x₂,x₃].

若[a,a+2](-∞,x₁],则a+2≤x₁,由(Ⅰ)知，x₁＜-3，于是a＜-5.

若[a,a+2][x₂,x₃],则a≥x₂,且a+2≤x₃.由(Ⅰ)知，-3＜x₂＜1.

又f′(x)=x³+3x²-9x+c，当c=-27时，f′(x)=(x-3)(x+3)²;当c=5时，f′(x)=(x+5)(x-1)².

因此，当-27＜c＜5时，1＜x₃＜3.

所以a＜-3，且a+2＜3.即-3＜a＜1.

故a＜-5，或-3＜a＜1.

反之，当a＜-5，或-3＜a＜1时，总可找到c(-27,5),使f(x)在区间[a,a+2]上单调递减.

综上所述，a的取值范围是(-∞,-5)(-3,1).