Question

3．设无穷等比数列{a_n}满足$\lim_{n→∞}（{a_1}+{a_3}+…+{a_{2n-1}}）$=$\frac{8}{3}$，则首项a₁的取值范围是$（0，\frac{8}{3}）$．

Answer 1

分析 无穷等比数列{a_n}满足$\lim_{n→∞}（{a_1}+{a_3}+…+{a_{2n-1}}）$=$\frac{8}{3}$，可得0＜|q|＜1，$\frac{{a}_{1}}{1-{q}^{2}}$=$\frac{8}{3}$，即可得出．

解答 解：∵无穷等比数列{a_n}满足$\lim_{n→∞}（{a_1}+{a_3}+…+{a_{2n-1}}）$=$\frac{8}{3}$，
∴0＜|q|＜1，$\frac{{a}_{1}}{1-{q}^{2}}$=$\frac{8}{3}$，
∴${a}_{1}=\frac{8}{3}（1-{q}^{2}）$∈$（0，\frac{8}{3}）$，
则首项a₁的取值范围是$（0，\frac{8}{3}）$，
故答案为：$（0，\frac{8}{3}）$．

点评 本题考查了无穷等比数列的极限问题、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．