Question

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分别为CD、PB的中点．

(1)求证：EF⊥平面PAB．

(2)设AB＝BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵PD⊥底面ABCD，DE在平面ABCD内， 　　∴PD⊥DE．又CE＝ED，PD＝AD＝BC， 　　∴Rt△BCE≌Rt△PDE， 　　∴PE＝BE． 　　∵F为PB中点，∴EF⊥PB． 　　又∵AB⊥AD，AB⊥PD， 　　∴AB⊥平面PAD． 　　∵PA平面PAD，∴PA⊥AB． 　　∴在Rt△PAB中，PF＝AF．又PE＝BE＝EA， 　　∴△EFP≌△EFA．∴EF⊥FA． 　　∵PB、FA为平面PAB内的相交直线， 　　∴EF⊥平面PAB． 　　(2)不妨设BC＝1，则AD＝PD＝1， 　　AB＝，PA＝，AC＝． 　　∴△PAB为等腰直角三角形，且PB＝2，F为其斜边中点，BF＝1，且AF⊥PB． 　　∵PB与平面AEF内两条相交直线EF，AF都垂直， 　　∴PB⊥平面AEF． 　　连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH⊥平面AEF． 　　∴∠GAH为AC与平面AEF所成的角． 　　由△EGC∽△BGA，可知EG＝GB，EG＝EB，AG＝AC＝． 　　由△EGH∽△EBF，可知GH＝BF＝． 　　∴sin∠GAH＝＝．

提示：

(1)用判定定理证明． 　　(2)先作出线面角再求．