Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是等边三角形，D为AB中点．
（I）求证：BC₁∥平面A₁CD；
（II）若四边形BCC₁B₁是矩形，且CD⊥DA₁，求证：三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱．

Answer 1

分析：（I）连AC₁，设AC₁与A₁C相交于点O，先利用中位线定理证明DO∥BC₁，再利用线面平行的判定定理证明结论即可；
（II）要证明三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，只需证明侧棱垂直于底面即可，先利用线面垂直的判定定理证明CD⊥平面ABB₁A₁，从而BB₁⊥CD，再利用同样的定理证明BB₁⊥平面ABC即可

解答：解：（Ⅰ）连AC₁，设AC₁与A₁C相交于点O，连DO，则O为AC₁中点，
∵D为AB的中点，
∴DO∥BC₁
∵BC₁?平面A₁CD，DO?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）∵等边△ABC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB
∵CD⊥DA₁，DA₁∩AB=D，
∴CD⊥平面ABB₁A₁
∵BB₁?平面ABB₁A₁
∴BB₁⊥CD，
∵矩形BCC₁B₁
∴BB₁⊥BC
∵BC∩CD=C∴BB₁⊥平面ABC
∵底面△ABC是等边三角形，
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱．

点评：本题主要考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，棱柱的定义及其线面关系，属基础题