Question

设函数F（x）=e^x+sinx-ax．
（1）若x=0是F（x）的极值点，求a的值；
（2）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒不在y=F（-x）的图象下方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用导数公式和导数四则运算计算函数F（x）的导函数F′（x），再利用函数极值的意义，令F′（0）=0即可解得a的值
（2）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒不在y=F（-x）的图象下方，即φ（x）=F（x）-F（-x）≥0在[0，+∞）上恒成立，考虑到φ（0）=0，故通过讨论函数φ（x）的单调性可得a的范围

解答：解：（1）函数F（x）=e^x+sinx-ax的导函数F′（x）=e^x+cosx-a
∵x=0是F（x）的极值点，∴F′（0）=1+1-a=0
解得a=2
又当a=2时，
x＜0时，F′（x）=e^x+cosx-2＜0，x＞0时F′（x）=e^x+cosx-2＞0
∴x=0是F（x）的极小值点
∴a=2
（2）令φ（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax
则φ′（x）=e^x+e^-x+2cosx-2a
令S（x）=φ′′（x）=e^x-e^-x-2sinx
∵S′（x）=e^x+e^-x-2cosx≥0当x≥0时恒成立
∴函数S（x）在[0，+∞）上单调递增
∴S（x）≥S（0）=0当x≥0时恒成立
∴函数φ′（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴φ′（x）≥φ′（0）=4-2a当x≥0时恒成立
当a≤2时，φ′（x）≥0，函数φ（x）在[0，+∞）上单调递增，即φ（x）≥φ（0）=0
故a≤2时，F（x）≥F（-x）恒成立
当a＞2时，φ′（0）＜0，又∵φ′（x）在[0，+∞）上单调递增
∴总存在x₀∈（0，+∞），使得在区间[0，x₀）上φ′（x）＜0，导致φ（x）在[0，x₀）上递减，而φ（0）=0
∴当x∈（0，x₀）时，φ（x）＜0，这与题意不符，∴a＞2不合题意
综上，a的取值范围是（-∞，2]

点评：本题综合考查了导数运算，导数与函数极值间的关系，利用导数研究函数的单调性进而解决不等式恒成立问题，分类讨论的思想方法