Question

四边形ABCD是正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=AB．则二面角A-MN-C的余弦值为（　　）

• A．

  6

  3

• B．-

  6

  3

• C．

  1

  3

• D．-

  1

  3

Answer 1

分析：由已知可将几何体补成正方体ABCD-ENFM，设正方体ABCD-ENFM的边长为1，则

CE

=（-1，-1，1）为平面AMN的一个法向量，

AF

=（1，1，1）为平面CMN的一个法向量，锐二面角A-MN-C的余弦值即为两个法向量夹角余弦值的绝对值．

解答：解：∵四边形ABCD是正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=AB．
将已知的几何体补成正方体ABCD-ENFM，如图所示：
设正方体ABCD-ENFM的边长为1，
以A为坐标原点，AB，AD，AE方向分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系
易得

CE

=（-1，-1，1）为平面AMN的一个法向量，

AF

=（1，1，1）为平面CMN的一个法向量，
设二面角A-MN-C的夹角为θ
则cosθ=

| AF • CE |

| AF |•| CE |

=

1

3

故选C

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中将几何体补成正方体ABCD-ENFM，并建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角是解答的关键．