Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，S_n=

n+1

2

an(n∈N+)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令bn=an•3n（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和的公式．

Answer 1

分析：（1）由S_n=

n+1

2

a_n可得S_n+1=

(n+1)+1

2

a_n+1，两式相减可求得

an+1

an

=

n+1

n

，再结合a₁=2，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法即可求得数列{b_n}的前n项和．

解答：解：（1）∵S_n=

n+1

2

a_n（n∈N^*），①
∴S_n+1=

(n+1)+1

2

a_n+1（n∈N^*），②
②-①得：a_n+1=

(n+1)+1

2

a_n+1-

n+1

2

a_n，
∴

n

2

a_n+1=

n+1

2

a_n，
∴

an+1

an

=

n+1

n

，又a₁=2，
a_n=

n

n-1

a_n-1=

n

n-1

×

n-1

n-2

a_n-2=

n

n-1

×

n-1

n-2

×…×

2

1

a₁
=na₁=2n．
（2）∵b_n=a_n•3ⁿ，设数列{b_n}的前n项和为T_n，
则T_n=2×3+4×3²+6×3³+…+2n×3ⁿ，③
∴3T_n=2×3²+4×3³+…+2（n-1）×3ⁿ+2n×3ⁿ⁺¹，④
③-④得：-2T_n=2×3+2×3²+…+2×3ⁿ-2n×3ⁿ⁺¹
∴-T_n=3+3²+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹
=

3(1-3n)

1-3

-n×3ⁿ⁺¹
=（

1

2

-n）3ⁿ⁺¹-

3

2

，
∴T_n=（n-

1

2

）3ⁿ⁺¹+

3

2

．

点评：本题考查数列的求和，考查等差数列的通项公式，求得数列{a_n}的通项公式是关键，也是难点，考查分析与推理能力，属于中档题．