Question

已知抛物线x²=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（I）证明为定值；
（II）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_o，y_o），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得x₁+x₂和x₁x₂，根据曲线4y=x²上任意一点斜率为y'=，可得切线AM和BM的方程，联立方程求得交点坐标，求得和，进而可求得•的结果为0，进而判断出AB⊥FM．
（2）利用（1）的结论，根据x₁+x₂的关系式求得k和a的关系式，进而求得弦长AB，可表示出△ABM面积．最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值．
解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_o，y_o），焦点F（0，1），准线方程为y=-1，
显然AB斜率存在且过F（0，1）
设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x²消去y得：x²-4kx-4=0，
判别式△=16（k²+1）＞0．
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4
于是曲线4y=x²上任意一点斜率为y'=，则易得切线AM，BM方程分别为y=（）x₁（x-x₁）+y₁，y=（）x₂（x-x₂）+y₂，其中4y₁=x₁²，4y₂=x₂²，联立方程易解得交点M坐标，x_o==2k，y_o==-1，即M（，-1）
从而，=（，-2），（x₂-x₁，y₂-y₁）
•=（x₁+x₂）（x₂-x₁）-2（y₂-y₁）=（x₂²-x₁²）-2[（x₂²-x₁²）]=0，（定值）命题得证．
这就说明AB⊥FM．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|．
|FM|====．
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离，所以
|AB|=|AF|+|BF|=y₁+y₂+2=λ++2=（）²．
于是S=|AB||FM|=（）³，
由≥2知S≥4，且当λ=1时，S取得最小值4．
点评：本题主要考查了抛物线的应用．抛物线与直线的关系和抛物线的性质等都是近几年高考的热点，故应重点掌握．