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    若函数在x＝1处取极值，则a＝_________

    答案：3
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    科目：高中数学 来源：2007年普通高等学校招生全国统一考试、文科数学(全国卷2) 题型：044

    已知函数f(x)＝ax3－bx2+(2－b)x+1

    在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，且0＜x1＜1＜x2＜2．

    (1)证明a＞0；

    (2)若z＝a+2b，求z的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：湖南省2009届高三上学期高考模拟(数学文) 题型：044

    已知函数在x＝2处取得的极小值是．

    (1)求f(x)的单调递增区间；

    (2)若x∈[－4，3]时，有f(x)≤m2＋m＋恒成立，求实数m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：湖南省岳阳市云溪区一中2012届高三第一次模拟考试数学文科试题 题型：044

    已知函数f(x)＝x3－3ax＋b在x＝1处有极小值2．

    (1)求函数f(x)的解析式；

    (2)若函数g(x)＝(x)－2x＋3在[0，2]只有一个零点，求m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：广东省顺德容山中学2012届高三上学期第一次月考数学文科试题 题型：044

    已知函数f(x)＝x3－3ax＋b在x＝1处有极小值2．

    (1)求函数f(x)的解析式；

    (2)若函数g(x)＝(x)－2x＋3在[0，2]只有一个零点，求m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年河北省高三8月月考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.

    (1)求f(x)的解析式；

    (2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

    【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x3－3x

    (2)中设切点为(x0，x03－3x0)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分离参数∴m＝－2x03＋6x02－6

    然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2

    解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c

    依题意

    又f′(0)＝－3

    ∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x3－3x

    (2)设切点为(x0，x03－3x0)，

    ∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3

    ∴切线方程为y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)

    又切线过点A(2，m)

    ∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)

    ∴m＝－2x03＋6x02－6

    令g(x)＝－2x3＋6x2－6

    则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)

    由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

    ∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．

    ∴g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2

    画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x3＋6x2－6有三解，

    所以m的取值范围是(－6,2)．

     

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