Question

用反证法证明：

设三个正实数a、b、c满足条件=2求证：a、b、c中至少有两上不小于1.

Answer 1

证明略

解析:

[解题思路]：用反证法证题时作出正确的反设是前提，“a, b, c中至多有一个数不小于1”的反设为“a, b, c中至多有一个数不小于1”，有两种情况“a、b、c三数均小于1”和“a、b、c中有两数小于1”；而推出矛盾是关键，也是难点.

假设a, b, c中至多有一个数不小于1，这包含下面两种情况：

（1）a、b、c三数均小于1，

即0<a<1 , 0<b<1, 0<c<1,则

∴>3与已知条件矛盾；

（2）a、b、c中有两数小于1，

设0<a<1,  0<b<1,而c≥1，则

∴>2+>2，也与已知条件矛盾；

∴假设不成立，∴a、b、c中至少有两个不小于1.

【名师指引】利用互为逆否的两个命题同真同假的关系，将不易判断真假的命题，转化为判断其逆否命题的真假（尤其是对否定式语句的命题），充分利用等价转化的思想方法。正确的反设是（即否定结论）是正确运用反证法的前提，要注意一些常用的“结论否定形式”，另外，需注意作出的反设必须包括与结论相反的所有情况。