Question

如图，已知直线l与抛物线x²=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，定点B的坐标为（2，0）．
（I）若动点M满足，求点M的轨迹C；
（Ⅱ）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）对抛物线方程进行求导，求得直线l的斜率，设出M的坐标，利用求得x和y的关系．
（II）设l'方程代入椭圆的方程，消去y，利用判别式大于0求得k的范围，设出E，F的坐标，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，令，则可推断出，进而表示出（x₁-2）•（x₂-2）和（x₁-2）+（x₂-2），最后求得k和λ的关系，利用k的范围求得λ的范围．
解答：解：（I）由x²=4y得，
∴．
∴直线l的斜率为y'|_x=2=1，
故l的方程为y=x-1，∴点A的坐标为（1，0）．
设M（x，y），则=（1，0），，，
由得，
整理，得．
∴动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆．
（II）如图，由题意知l'的斜率存在且不为零，
设l'方程为y=k（x-2）（k≠0）=1 ①，
将 ①代入，整理，得
（2k²+1）x²-8k²•x+（8k²-2）=0，由△＞0得．
设E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），则，②
令，则，
由此可得，，且0＜λ＜1．
由 ②知，
．
∴，
即．
∵，∴，
解得．
又∵0＜λ＜1，∴，
∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（，1）．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生基本的推理能力和基本的运算能力．