Question

在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+（其中sin=，）且与点A相距10海里的位置C．

（I）求该船的行驶速度（单位：海里/时）;

（II）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．

Answer 1

解：（I）如图，AB=40，AC=10，

由于0<<,所以cos=

由余弦定理得

所以船的行驶速度为（海里/小时）．

（II）解法一   如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是

B（x₁，y₁）, C（x₂，y₂）,BC与x轴的交点为D．

由题设有，x₁=y₁= AB=40,

,

所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40．

又点E（0，-55）到直线l的距离d=

所以船会进入警戒水域．

解法二  如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q．在△ABC中，由余弦定理得，

==．

从而

在中，由正弦定理得，

AQ=

由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15．

过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离．

在中，PE=QE?sin

=

所以船会进入警戒水域．