Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，且f（-x）=-f（x），当x∈（0，1）时，．
（1）求f（x）在（-1，0）上的解析式；（2）求证：f（x）在（0，1）上是减函数．

Answer 1

【答案】分析：（1）x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），从而有f（-x）==，再由f（-x）=-f（x）即可求得f（x）在（-1，0）上的解析式；
（2）利用单调性的定义证明即可．先设0＜x₁＜x₂＜1，再作差f（x₁）-f（x₂）化积后判断即可．
解答：解：（1）∵f（-x）=-f（x），x∈（0，1）时，，
∴当x∈（-1，0）时，；
（2）证明：设0＜x₁＜x₂＜1，则

=
═
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1）是减函数．
点评：本题考查函数单调性的判断与证明，难点在于（2）的证明，着重考查转化与复杂的运算能力，属于难题．