Question

已知函数f(x)＝a^x＋x²－xlna(a＞0且a≠1)．

(Ⅰ)当a＞1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

(Ⅱ)若函数y＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t的值；

(Ⅲ)若存在x₁，x₂∈[－1，1]，使得|f(x₁)－f(x₂)|≥e－1，试求a的取值范围．

注：e为自然对数的底数．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)， 　　由于，故当x∈时，lna＞0，ax－1＞0，所以， 　　故函数在上单调递增　　4分 　　(Ⅱ)当a＞0，a≠1时，因为，且在R上单调递增， 　　故有唯一解x＝0． 　　要使函数有三个零点，所以只需方程有三个根， 　　即，只要，解得t＝2　　9分 　　(Ⅲ)因为存在x1，x2∈[－1，1]，使得， 　　所以当x∈[－1，1]时，． 　　由(Ⅱ)知，， 　　． 　　事实上，． 　　记() 　　因为 　　所以在上单调递增，又． 　　所以当x＞1时，； 　　当0＜x＜1时，， 　　也就是当a＞1时，； 　　当0＜a＜1时，． 　　①当时，由，得， 　　解得． 　　②当0＜a＜1时，由，得， 　　解得． 　　综上知，所求a的取值范围为．