Question

已知0＜α＜π,证明2sin2α≤,并指出什么时候取等号.

Answer 1

证法一:令tan=t>0,(∵0<<)

原不等式变为2·2·≤.

以t(1+t²)²>0乘不等式两端,问题变为证明8t²(1-t²)≤(1+t²)²,

即-9t⁴+6t²-1≤0,

-(3t²-1)²≤0.

∴不等式成立.

当且仅当t²=即tan=时,即α=60°时,原不等式变为等式.

证法二:将原不等式两端同乘以sin>0,则问题化为证明不等式2sin2αsin≤cos.

而2sin2αsin=2·(2sinαcosα)·sin

=4·(2sincos)(1-2sin²)sin

=8cos (sin²-2sin⁴)

=8cos［-2(sin²-)²］

=cos-16cos (sin²-)²≤cos.

其中“≤”符号是由于cos>0,(sin²-)²≥0.

上式中的等号当且仅当sin²-=0时成立,即sin²=0,

∴sin= (-舍去).∴α=.