Question

已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M（,0）对称，且在区间［0,］上是单调函数，求φ和ω的值.

Answer 1

解：由f(x)是偶函数，得f(-x)=f(x),

即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ).

∴-cosφsinωx=cosφsinωx对任意x都成立，且ω＞0，

∴得cosφ=0.

依题设0≤φ≤π,

∴解得φ=.

由f(x)的图象关于点M对称，得

f(-x)=-f(+x).

取x=0,得f()=-f(),∴f()=0.

∵f()=sin(+)=cos,

∴cos=0,又ω＞0，得=+kπ,k=0,1,2,….

∴ω=(2k+1),k=0,1,2,….

当k=0时，ω=，f(x)=sin(x+),

在［0，］上是减函数;

当k=1时，ω=2,f(x)=sin(2x+)在［0,］上是减函数；

当k≥2时，ω≥,f(x)=sin(ωx+)在［0，］上不是单调函数.

综上得ω=或ω=2.