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    对于定义域为[0，1]的函数f(x)如果同时满足以下三条：①对任意的，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．则称函数f(x)为理想函数．

    (Ⅰ)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；

    (Ⅱ)判断函数g(x)＝2x－1是否为理想函数，并予以证明；

    (Ⅲ)若函数f(x)为理想函数，假定，使得，且f(f(x0))＝x0，求证f(x0)＝x0．

    答案：
    解析：

    　　(1)取得

    　　又由①，故　2分

    　　(2)显然，在[0，1]满足①；满足②

    　　若，，，则

    　　

    　　

    　　故理想函数．　7分

    　　(3)由③知任给、[0，1]，时

    　　事实上、[0，1]，由知[0，1]

    　　

    　　若，则前后矛盾；

    　　若，则前后矛盾；

    　　故．　12分


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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称函数f（x）为理想函数．
    （1）若函数f（x）为理想函数，求f（0）的值；
    （2）判断函数g（x）=2x-1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；
    （3）若函数f（x）为理想函数，假定?x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证f（x0）=x0．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于定义域为[0，1]的函数f（x）如果满足以下三个条件：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥2；②f（1）=3；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-2成立．则称函数f（x）为理想函数．
    （1）判断函数g（x）=2x+1 （0≤x≤1）是否为理想函数，并予以证明；
    （2）求定义域为[0，1]的理想函数f（x）的最大值和最小值；
    （3）某同学发现：当x=
    1
    2n
    （n∈N）时，有f（
    1
    2n
    ）≤
    1
    2n
    +2，由此他提出猜想：对一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，请你根据该同学发现的结论（或其它方法）来判断此猜想是否正确，并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于定义域为[0，1]的函数f（x），若同时满足以下三个条件：
    ①f（1）=1； 
    ②?x∈[0，1]，总有f（x）≥0； 
    ③当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），则称函数f（x）为理想函数．
    （Ⅰ）若函数f（x）为理想函数，求f（0）．
    （Ⅱ）判断函数g（x）=2x-1（x∈[0，1]）和函数h(x)=sin
    π2
    x    （x∈[0，1]）是否为理想函数？若是，予以证明；若不是，说明理由．
    （III）设函数f（x）为理想函数，若?x0∈[0，1]，使f（x0）∈[0，1]，且f[f（x0）]=x0，求证：f（x0）=x0．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：（1）对于任意x∈[0，1]，f（x）≥0；（2）f（1）=1；（3）若x1≥0，x2≥0，则f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
    （Ⅰ）求f（0）的值；
    （Ⅱ）问函数g（x）=f（x）-2x-
    1
    10
    在[
    1
    2
    ，1]上是否有零点？

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称函数f（x）为理想函数．
    （1）若函数f（x）为理想函数，求f（0）的值；
    （2）判断函数g（x）=2x-1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；
    （3）若函数f（x）为理想函数，假定?x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证f（x0）=x0．

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