Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=3，公差d≠0，其前n项和为S_n，且a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：++…＜．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知条件列式求出等差数列的公差，然后直接代入等差数列的通项公式求解；
（Ⅱ）求出等差数列的前n项和，然后利用裂项相消法证明++…＜．
解答：解：由a₁，a₄，a₁₃成等比数列，得，
即，所以．
9d²=6a₁d，．则．
（Ⅰ）a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1；
（Ⅱ）．
则，
所以++…=
=＜．
点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，训练了利用裂项相消法求数列的和，考查了利用放缩法证明不等式，是中档题．