Question

如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD＝90°，且AB∥CD，CD＝3AB，PA⊥平面ABCD．

(1)点F在线段PC上运动，设＝λ，问当λ为何值时，BF∥平面PAD？并证明你的结论．

(2)在(1)成立的条件下，若BF⊥PC，且AB＝BF＝1，求四棱锥P－ABCD的体积．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)当λ＝时，BF∥平面PAD．证明略． 　　(2)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB．又因为∠BAD＝90°，即AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥AE．由(1)知，AB∥EF，BF∥AE，所以EF⊥BF．又因为BF⊥PC，所以BF⊥平面PCD，所以BF⊥PD．又因为AE∥BF，所以AE⊥PD．由＝，设PE＝x，则ED＝2x．由三角形相似可得AE2＝PE·ED，且AE＝BF＝1，解得x＝．所以AP＝，AD＝． 　　所以体积VP－ABCD＝××(1＋3)××＝．