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    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1 ( a＞b＞0 )    的一个顶点A与抛物线y=
    1
    8
    x2    的焦点重合，离心率e=
    		6
    3

    （1）求椭圆的方程；
    （2）直线l：y=kx-2（k≠0）与椭圆相交于不同的两点M，N满足
    MP
     =
    PN
     ， 
    AP
     • 
    MN
    =0    ，求k．
    分析：（1）设c=
    		a2-b2
    ，依题意得
    b=2
    e=
    c
    a
    =
    		a2-b2
    a
    =
    		6
    3
    ，由此能求出椭圆方程．
    （2）由
    MP
     =
    PN
     ， 
    AP
     • 
    MN
    =0    ，知AP⊥MN，且点P线段MN的中点，由
    y=kx-2
    x2
    12
    +
    y2
    4
    =1
    ，得（1+3k2）x2-12kx=0．设M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点P（x0，y0），则x1+x2=
    12k
    1+3k2
    ，P (
    6k
    1+3k2
     ， 
    -2
    1+3k2
    )    ．由k≠0，知直线AP的斜率为k1=
    -2
    1+3k2
    -2
    6k
    1+3k2
    =
    -2-2(1+3k2)
    6k
    ，由MN⊥AP，解得k=±
    		3
    3
    ．
    解答：解：（1）设c=
    		a2-b2
    ，依题意得
    b=2
    e=
    c
    a
    =
    		a2-b2
    a
    =
    		6
    3
    ，即
    b=2
    6a2=9a2-9b2

    ∴a2=3b2=12，即椭圆方程为
    x2
    12
    +
    y2
    4
    =1    ．
    （2）∵
    MP
     =
    PN
     ， 
    AP
     • 
    MN
    =0    ∴AP⊥MN，且点P线段MN的中点，
    由
    y=kx-2
    x2
    12
    +
    y2
    4
    =1
    消去y得x2+3（kx-2）2=12，即（1+3k2）x2-12kx=0（*）
    由k≠0，得方程（*）的△=（-12k）2=144k2＞0，显然方程（*）有两个不相等的实数根．
    设M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点P（x0，y0），
    则x1+x2=
    12k
    1+3k2
    ，∴x0=
    x1+x2
    2
    =
    6k
    1+3k2

    ∴y0=kx0-2=
    6k2-2 (1+3k2)
    1+3k2
    =
    -2
    1+3k2
    ，即P (
    6k
    1+3k2
     ， 
    -2
    1+3k2
    )    ∵k≠0，∴直线AP的斜率为k1=
    -2
    1+3k2
    -2
    6k
    1+3k2
    =
    -2-2(1+3k2)
    6k
    ，
    由MN⊥AP，得
    -2-2(1+3k2)
    6k
    ×k=-1    ，
    ∴2+2+6k2=6，解得：k=±
    		3
    3
    ，
    点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
    1
    2

    （Ⅰ）求椭圆的标准方程，
    （Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
    PF1
    •
    PA
    的取值范围
    （III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
    AH
    2    =
    MH
    •
    HN
    ，求证：直线l恒过定点．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
    （1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
    （2）求k1：k2的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率是
    		3
    2
    ，且经过点M（2，1），直线y=
    1
    2
    x+m(m＜0)    与椭圆相交于A，B两点．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）当m=-1时，求△MAB的面积；
    （3）求△MAB的内心的横坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•威海二模）已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为e=
    		6
    3
    ，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
    2
    		6
    3
    +2    ．
    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
    （Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
    ND
    •
    MP
    AB
    2
    为定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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