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    对于数列{an},若a1=2,an+an-1=3n(n≥2),

    (1)求a2、a3、a4并猜想an的表达式;

    (2)用数学归纳法证明你的猜想.

    解：(1)易知a2=32-a1=32-2,

    a3=33-a2=33-32+2,a4=34-a3=34-33+32-2,

    由此猜想an=3n-3n-1+…+(-1)n-232+(-1)n-12=.

    (2)证明如下:

    ①当n=1时由题设知猜想正确.

    ②假设n=k成立,即ak=成立.

    那么ak+1=3k+1-ak=3k+1-=,

    即当n=k+1时,猜想成立.

    根据①和②,可知对一切n∈N*,猜想正确.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于数列{an}，若满足a1，
    a2
    a1
    ，
    a3
    a2
    ，…，
    an
    an-1
    ，…    是首项为1，公比为2的等比数列，则a100等于（　　）
    A、2100
    B、299
    C、25050
    D、24950

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义在R上的函数f（x）满足f（x）=
    log2(1-x)，x≤0
    f(x-1)-f(x-2)，x＞0

    （1）计算：f（-1）、f（0）、f（1）、f（2），并求出f（n+3）与f（n），n∈N*满足的关系式；
    （2）对于数列{an}，若存在正整数T，使得an+T=an，则称数列{an}为周期数列，T为数列的周期，令an=f(n) ， n∈N*，证明：{an}为周期数列，指出它的周期T，并求a2012的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•重庆一模）对于数列{an}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|an|≤M，则称{an}为有界数列．
    （Ⅰ）判断an=2+sinn是否为有界数列并说明理由．
    （Ⅱ）是否存在正项等比数列{an}，使得{an}的前n项和Sn构成的数列{Sn}是有界数列？若存在，求数列{an}的公比q的取值范围；若不存在，请说明理由．
    （Ⅲ）判断数列an=
    1
    3
    +
    1
    5
    +
    1
    7
    +…+
    1
    2n-1
    (n≥2)    是否为有界数列，并证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于数列{an}，若存在确定的自然数T＞0，使得对任意的自然数n∈N*，都有：an+T=an成立，则称数列{an}是以T为周期的周期数列．
    （1）记Sn=a1+a2+a3+…+an，若{an}满足an+2=an+1-an，且S2=1007，S3=2010，求证：数列{an}是以6为周期的周期数列，并求S2009；
    （2）若{an}满足a1=p∈[0， 
    1
    2
    )    ，且an+1=-2an2+2an，试判断{an}是否为周期数列，且说明理由；
    （3）由（1）得数列{an}，又设数列{bn}，其中bn=an+2n+
    2009
    2n
    ，问是否存在最小的自然数n（n∈N*），使得对一切自然数m≥n，都有bm＞2009？请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）对于数列{an}，若存在常数T≥0，使得对于任意n∈N*，均有|an|≤T，则称{an}为有界数列．以下数列{an}为有界数列的是
     
    ；（写出满足条件的所有序号）
    ①an=n-2②an=
    1
    n+2
    ③
    an
    an+1
    =2，a1=1
    （2）数列{an}为有界数列，且满足an+1=-an2+2an，a1=t（t＞0），则实数t的取值范围为
     
    ．

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