Question

10．已知函数f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$．
（Ⅰ）求函数f（x）在x=1处的切线方程．
（Ⅱ）若a为实数，函数f（x）在区间（a，a+1）上的有极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）试问是否存在k，b∈N，使得e^x＞kx+b＞f（x）恒成立？若存在，请写出k，b的值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，确定切线的斜率，即可求函数f（x）在x=1处的切线方程．
（Ⅱ）求导数，确定函数的单调性，可得函数f（x）在x=1处取得极大值，利用函数f（x）在区间（a，a+1）上的有极值，即可求a的取值范围；
（Ⅲ）证明k=2，b=0时命题成立，即证e^x＞kx+b＞f（x）恒成立，构造函数，确定函数的单调性可得结论；

解答 解：（Ⅰ）因为$f'（x）=-\frac{lnx}{x^2}$，f'（1）=0…1分
所以函数f（x）在x=1处的切线方程为y=1…3分
（Ⅱ）因为$f（x）=\frac{1+lnx}{x}$，x＞0，由$f'（x）=-\frac{lnx}{x^2}$，令f'（x）=0，得x=1
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0…4分
所以f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．
所以函数f（x）在x=1处取得极大值．…5分
因为函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值，
所以a＜1＜a+1，解得0＜a＜1．…7分
（III）因为y=e^x过点（0，1），结合函数y=e^x的图象可知，当b≥1时，直线y=kx+b与函数y=e^x的图象恒有公共点，不合题意，所以b＜1，又b∈N，故b=0．
在不等式e^x＞kx+b＞f（x）中，令x=1，得e＞k＞1，又k∈N，所以k=2．
以下证明k=2，b=0时命题成立，即证e^x＞kx+b＞f（x）恒成立…8分
方法一：因为${e^x}＞2x＞f（x）?\frac{e^x}{x}＞2＞\frac{1+lnx}{x^2}$．（*）
（ i）设$g（x）=\frac{e^x}{x}$，则$g'（x）=\frac{{x{e^x}-{e^x}}}{x^2}$，令g'（x）=0，得x=1．
则g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．
所以g（x）≥g（1）=e＞2，即不等式$\frac{e^x}{x}＞2$成立．…10分
（ ii）设$h（x）=\frac{1+lnx}{x^2}$，则$h'（x）=\frac{x-2x（1+lnx）}{x^4}=-\frac{1+2lnx}{x^3}（x＞0）$，
令h'（x）=0，得$x=\frac{1}{{\sqrt{e}}}$，
则h（x）在区间$（0，\frac{1}{{\sqrt{e}}}）$上单调递增，在区间$（\frac{1}{{\sqrt{e}}}，+∞）$上单调递减．
所以$h（x）≤h（\frac{1}{{\sqrt{e}}}）=\frac{e}{2}＜2$，即不等式$\frac{1+lnx}{x^2}＜2$成立．…13分
综上可知（*）式成立，即存在k=2，b=0满足题意．…14分
方法二：e^x＞2x＞f（x）等价于e^x＞2x，且2x²＞1+lnx．（*）
（ i）设g（x）=e^x-2x，g'（x）=e^x-2．令g'（x）=0，得x=ln2．
则g（x）在区间（0，ln2）上单调递减，在区间（ln2，+∞）上单调递增．
所以g（x）≥g（ln2）=2-ln2=2（1-ln2）＞0，即e^x＞2x恒成立．…10分
（ ii）设h（x）=2x²-lnx-1，则$h'（x）=4x-\frac{1}{x}（x＞0）$，令h'（x）=0，得$x=\frac{1}{2}$，
则h（x）在区间$（0，\frac{1}{2}）$上单调递减，在区间$（\frac{1}{2}，+∞）$上单调递增．
所以$h（x）≥h（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}-ln\frac{1}{2}-1=ln2-\frac{1}{2}＞ln\sqrt{e}-\frac{1}{2}=0$，
即2x²＞1+lnx恒成立．…13分
综上可知（*）式成立，即存在k=2，b=0满足题意．…14分．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，有难度．