Question

已知函数f(x)=lnx+

a

x

．
（1）试讨论f（x）在定义域内的单调性；
（2）求f（x）在[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）首先根据对数函数的性质，求出极值点，对a进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性；
（2）由（1）求出函数f（x）的单调性，对a进行讨论，利用图象求出最小值；

解答：解：（1）∵函数f(x)=lnx+

a

x

．
∴f′（x）=

1

x

+

-a

x2

=

x-a

x2

，
若a＞0，可得
当x＞a时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当0＜x＜a时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
若a≤0，-a≥0，f′（x）＞0恒成立，f（x）为增函数；
（2）若a≤0，f（x）为增函数，f（x）_min=f（1）=a；
若0＜a≤1时，f（x）在[1，e]上为增函数，
f（x）_min=f（1）=a；
若1＜a＜e时，f（x）在x=a处取得极小值也是最小值，
f（x）_min=f（a）=lna+1；
若a≥e，时，f（x）在[1，e]上为减函数，
∴f（x）_min=f（e）=1+

a

e

；
综上：

a≤1，f(x)最小值为a 1＜a＜e，f(x)最小值为lna+1 a≥e，f(x)最小值为：1+ a e

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性及其最值问题，是一道中档题，解题过程中用到了分类讨论的思想，这是高考的热点问题；