练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    若等比数列前n项，2n项，3n项的和分别为Sn,S2n,S3n，求证：Sn2+S2n2=Sn(S2n+S3n).

    证法一：设此数列的公比为q,首项为a1.

    当q=1时，则Sn=na1,S2n=2na1,S3n=3na1,

    Sn2+S2n2=n2a12+4n2a12=5n2a12,

    Sn(S2n+S3n)=na1(2na1+3na1)=5n2a12,

    ∴Sn2+S2n2=Sn(S2n+S3n).

    当n≠1时，则

    Sn=,

    S2n=(1-q2n),

    S3n=(1-q3n).

    ∴Sn2+S2n2=()2［(1-qn)2+(1-q2n)2］

    =()2(1-qn)2(2+2qn+q2n).

    又Sn(S2n+S3n)=()2(1-qn)2(2+2qn+q2n),

    ∴Sn2+S2n2=Sn(S2n+S3n).

    证法二：根据等比数列性质，有

    S2n=Sn+qnSn=Sn(1+qn),

    S3n=Sn+qnSn+q2nSn.

    ∴Sn2+S2n2=Sn2+［Sn(1+qn)］2

    =Sn2(2+2qn+q2n).

    Sn(S2n+S3n)=Sn2(2+2qn+q2n),

    ∴Sn2+S2n2=Sn(S2n+S3n).

    温馨提示

        (1)使用等比数列的前n项和公式时，对于q的取值要分类讨论，q=1或q≠1两种情况都要考虑到.

        (2)利用等比数列前n项和的性质可以简化运算，优化解答过程，一定要熟练掌握，灵活运用.

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知集合A={x|x2+a≤（a+1）x，a∈R}．
    （1）是否存在实数a，使得集合A中所有整数的元素和为28？若存在，求出符合条件的a，若不存在，请说明理由．
    （2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为Sn，对于任意的n∈N+，均有Sn∈A，求a的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在等比数列{an}中，a1=1，公比q=2，若{an}前n项和Sn=127，则n的值为
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知集合A={x|x2+a≤|a+1|x，a∈R}
    （1）求A；
    （2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为Sn，问是否存在实数a使得对于任意的n∈N*，均有Sn∈A．若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•奉贤区二模）数列{an} 的各项均为正数，a1=t，k∈N*，k≥1，p＞0，an+an+1+an+2+…+an+k=6pn
    （1）当k=1，p=5时，若数列{an}是成等比数列，求t的值；
    （2）当t=1，k=1时，设Tn=a1+
    a2
    p
    +
    a3
    p2
    +…+
    an-1
    pn-1
    +
    an
    pn-1
    ，参照高二教材书上推导等比数列前n项求和公式的推导方法，求证：数列
    1+p
    p
    Tn-
    an
    pn
    -6n    是一个常数；
    （3）设数列{an}是一个等比数列，求t（用p，k的代数式表示）．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•宝山区一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，3an+1+4Sn=3（n为正整数）．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）记S=a1+a2+…+an+…，若对任意正整数n，kS＜Sn恒成立，求k的取值范围？
    （3）已知集合A={x|x2+a≤（a+1）x，a＞0}，若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为Tn，问是否存在实数a使得对于任意的n∈N*，均有Tn∈A．若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案