Question

三棱锥,底面为边长为的正三角形，平面平面，,为上一点，，为底面三角形中心.

（Ⅰ）求证：∥面；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求平面截三棱锥所得的较大几何体的体积.

Answer 1

证明：（Ⅰ）连结并延长交于点，

连结、.           --------------1分

为正三角形的中心，

∴,                   

又， ∴∥,       --------------2分

平面，平面 --------------3分

∴∥面．                  --------------4分

（Ⅱ）,且为中点, ∴,              

又平面平面，∴平面．             --------------5分

由（Ⅰ）知，∥，∴平面,                  

∴                                                  --------------6分

连结,则,                                        

又,∴平面,                           --------------7分

∴．                                                --------------8分

（Ⅲ）连结并延长交于点,连结,则面将三棱锥截成三棱锥和四棱锥两个几何体 .                    --------------9分

                     -----------10分

                        --------------11分

∴所截较大部分几何体的体积为.