Question

设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x-4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分类讨论，当x≥4时，当-

1

2

≤x＜4时，当x＜-

1

2

时，分别求出不等式的解集，再把解集取交集．
（2）利用绝对值的性质，求出f（x）+3|x-4|的最小值为9，故m＜9．

解答：解：（1）当x≥4时f（x）=2x+1-（x-4）=x+5＞0得 x＞-5，所以，x≥4时，不等式成立．
当-

1

2

≤x＜4时，f（x）=2x+1+x-4=3x-3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成立．
当x＜-

1

2

时，f（x）=-x-5＞0，得x＜-5，所以，x＜-5成立
综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜-5}．
（2）f（x）+3|x-4|=|2x+1|+2|x-4|≥|2x+1-（2x-8）|=9，当x≥4或x≤-

1

2

时等号成立，
所以，f（x）+3|x-4|的最小值为9，故 m＜9．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值的方法，绝对值不等式的性质，体现了分类讨论的数学思想．