Question

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，过D与PB垂直的平面分别交PB、PC于F、E．PD=DC．
（1）求证：DE⊥PC
（2）求证：PA∥平面EDB；
（3）求二面角C-PB-D的大小．

Answer 1

解：（1）证明：∵PB⊥平面DEF∴PB⊥DE
又∵PD⊥平面ABCD
又∵BC⊥DC∴BC⊥面PDC
∴DE?平面PDC∴BC⊥DE
从而DE⊥平面PBC
∴DE⊥PC
（2）证明：连AC交BD于O，则O为AC的中点，
∴E为PC的中点，
∴EO∥PA
又∵PA?平面EDBEO?平面EDB，
∴PA∥平面EDB
（3）设PD=DC=1，∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=1，BD=，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B（1，1，0），P（0，0，1），C（0，1，0），
∴，，，，
设面PBD的法向量为，则，∴，
设面PBC的法向量为，则，∴，
设二面角C-PB-D的平面角为θ，则cosθ=，θ=60°，
∴二面角C-PB-D的大小为60°．
分析：（1）由PB⊥平面DEF，知PB⊥DE，由PD⊥平面ABCD，BC⊥DC，知BC⊥面PDC．由此能够证明DE⊥PC．
（2）连AC交BD于O，则O为AC的中点，E为PC的中点，EO∥PA．由PA?平面EDBEO?平面EDB，知PA∥平面EDB．
（3）设PD=DC=a，取DC的中点H，作HG∥CO交BD于G，则HG⊥DB，EH∥PD，EH⊥平面CDB．由三垂线定理知EG⊥BD，故∠EGH为二面角E-BD-C的一个二面角．由此能求出二面角E-BD-C的正切值．
点评：本题考查立体几何问题的综合应用，难度较大．解题时要认真审题，仔细观察，注意合理地进行等价转化，把立体问题转化为平面问题进行求解．