Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n+n-4（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n-1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nlog₂（a_n-1），求数列{c_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2a_n+n-4，可得S_n-1=2a_n-1+（n-1）-4，两式相减可得a_n-1=2（a_n-1-1），故数列{a_n-1}为等比数列，由此可求；
（2）由（1）可得Cn=(2n+1)n=n•2n+n，然后分两部分求和，一部分错位相减，一部分等差数列的求和公式，即可得答案．

解答：解：（1）∵S_n=2a_n+n-4，∴S_n-1=2a_n-1+（n-1）-4
∴a_n=2a_n-2a_n-1+1，从而a_n=2a_n-1-1即a_n-1=2（a_n-1-1）
∴数列{a_n-1}为等比数列
又a₁=S₁=2a₁-3，故a₁=3
因此an-1=(a1-1)×2n-1=2n
∴an=2n+1
（2）由（1）可得Cn=(2n+1)n=n•2n+n
记An=1×2+2×22+3×23+…+n•2n
∴2An=1×22+2×23+…+(n-1)•2n+n•2n+1
两式相减可得：-An=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=-2+(1-n)•2n+1
∴An=(n-1)•2n+1+2
∴Tn=(n-1)•2n+1+2+

n(n+1)

2

点评：本题为数列的综合应用，涉及错位相减法求和以及分项求和，属中档题．